Question

18．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且向量$\overrightarrow{a}$=（-4，n），$\overrightarrow{b}$=（S_n，n+3）垂直．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{$\frac{1}{（2{a}_{n}+1）n}$}前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直得到${S}_{n}=\frac{1}{4}{n}^{2}+\frac{3}{4}n$，由此能求出a_n．
（2）由$\frac{1}{（2{a}_{n}+1）n}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$），利用裂项求和法能证明T_n＜$\frac{3}{4}$．

解答 解：（1）∵S_n为数列{a_n}的前n项和，且向量$\overrightarrow{a}$=（-4，n），$\overrightarrow{b}$=（S_n，n+3）垂直，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-4S_n+n（n+3）=0，∴${S}_{n}=\frac{1}{4}{n}^{2}+\frac{3}{4}n$，
∴n=1时，${S}_{1}={a}_{1}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$=1，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{1}{4}{n}^{2}+\frac{3}{4}n$）-[$\frac{1}{4}（n-1）^{2}+\frac{3}{4}（n-1）$]=$\frac{n}{2}+\frac{1}{2}$．
n=1时，上式成立，
∴a_n=$\frac{n}{2}+\frac{1}{2}$．
证明：（2）∵$\frac{1}{（2{a}_{n}+1）n}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$），
∴数列{$\frac{1}{（2{a}_{n}+1）n}$}前n项和：
T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴T_n＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．