Question

13．已知△ABC中，AC=8，cosA=$\frac{1}{2}$，S_△ABC=8$\sqrt{3}$
（1）求BC的值以及△ABC的外接圆的面积；
（2）设函数f（x）=2（cosCsinx-cosAcosx）+2，将函数f（x）的图象向下平移两个单位，再将横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式以及余弦定理，正弦定理进行求解即可．
（2）根据余弦定理求出cosC，然后化简函数f（x），利用三角函数的图象变换求出g（x），利用三角函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）∵cosA=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•ACsinA=8$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$AB•8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$，
则AB=4，
则BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•ACcosA}$=$\sqrt{16+64-2×4×8×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{48}$=4$\sqrt{3}$．
∵2R=$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8，
∴R=4，即△ABC的外接圆的面积S=π•R²=16π．
（2）cosC=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2AC•BC}$=$\frac{64+48-16}{2•8•4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则f（x）=2（cosCsinx-cosAcosx）+2=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）+2=2sin（x-$\frac{π}{6}$）+2，
将函数f（x）的图象向下平移两个单位，得到y=2sin（x-$\frac{π}{6}$）+2-2=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
然后再将横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，得到y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
即g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及三角函数的图象变换以及三角函数的性质，考查学生的运算能力．