Question

8．已知函数f（x）=kx（k≠0），对于任意的x都满足f（x-1）•f（x）=x²-x，函数g（x）=a^x（a＞0，且a≠1）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知关于x的方程g（2x+1）=f（x+1）．f（x）恰有一实数解为x₀，且，x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x-1）•f（x）=x²-x列出恒等式，得出k；
（2）根据g（2x+1）=f（x+1）•f（x）得a^2x+1=x²+x．作出函数图象，根据x₀的范围列出不等式解出．

解答 解：（1）∵f（x-1）•f（x）=x²-x，
∴k（x-1）•kx=x²-x，
即k²x²-k²x=x²-x，∴k²=1，k=1或k=-1．
∴f（x）=x或f（x）=-x．
（2）f（x+1）•f（x）=（x+1）²-（x+1）=x²+x，g（2x+1）=a^2x+1，∴a^2x+1=x²+x．
作出y=a^2x+1与y=x²+x的函数图象，如图所示：
∵a^2x+1=x²+x．有唯一解x₀，且x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．∴0＜a＜1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{\frac{3}{2}}＞（\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{4}}\\{{a}^{2}＜{（\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$（\frac{5}{16}）^{\frac{2}{3}}$＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴实数a的取值范围是（$（\frac{5}{16}）^{\frac{2}{3}}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查了函数解析式的求解，函数的零点与函数图象的关系，走出符合条件的函数图象是解题关键．