Question

3．某家庭游戏中有这样一个“投币”活动，活动道具是如图所示的半径为10cm的圆形纸板，纸板上有一个相同圆心、半径为2cm的小圆，现让家庭中的每名成员向此纸板抛掷一枚半径为1cm的硬币，使硬币整体随机落在纸板内，若硬币落下后与小圆圆面（不包含边界）无公共点则中奖，否则不中奖．
（1）求中奖的概率；
（2）若某家庭中有3名成员参与“投币”活动，记这3名成员中中奖的人数为E，求E的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于9．硬币与小圆无公共点，硬币圆心距离小圆圆心要大于2，先求出硬币落在纸板上的面积，然后再求解硬币落下后与小圆没交点的区域的面积，代入古典概率的计算公式可求中奖的概率．
（2）由题意E～B（3，$\frac{8}{9}$），由此能求出E的分布列和数学期望．

解答 解：（1）记“中奖”为事件A
硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于9，其面积为81π
无公共点也就意味着，硬币的圆心与纸板的圆心相距超过3cm
以纸板的圆心为圆心，作一个半径3cm的圆，硬币的圆心在此圆外面，则硬币与半径为2cm的小圆无公共点，此半径为3的圆面积是9π
所以有公共点的概率为$\frac{9π}{81π}$=$\frac{1}{9}$，
中奖的概率P（A）=1-$\frac{1}{9}$=$\frac{8}{9}$．
（2）由题意E～B（3，$\frac{8}{9}$），
P（E=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{9}）^{3}$=$\frac{1}{729}$，
P（E=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{8}{9}）（\frac{1}{9}）^{2}$=$\frac{24}{729}$，
P（E=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{8}{9}）^{2}（\frac{1}{9}）$=$\frac{192}{729}$，
P（E=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{8}{9}）^{3}$=$\frac{512}{729}$，
∴E的分布列为：

E	0	1	2	3
P	$\frac{1}{729}$	$\frac{24}{729}$	$\frac{192}{729}$	$\frac{512}{729}$

E（E）=3×$\frac{8}{9}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．