Question

12．已知数列{a_n}满足：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n为数列{b_n}的前n项和，对于任意的正整数n，S_n＞2λ-$\frac{1}{3}$恒成立，求S_n及实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出a_n．
（2）利用“裂项求和”可得S_n，再利用数列的单调性与不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$（n∈N^*），
∴当n=1时，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，解得a₁=2．
当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{（n-1）^{2}}{2}$（n∈N^*）．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}}{2}$，
解得a_n=$\frac{2}{2n-1}$，当n=1时也成立．
（2）b_n=a_na_n+1=$\frac{4}{（2n-1）（2n+1）}$=2$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$2[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{2n+1}）$，
∵对于任意的正整数n，S_n＞2λ-$\frac{1}{3}$恒成立，
∴λ＜$\frac{7}{6}$-$\frac{1}{2n+1}$．
∴λ＜$\frac{5}{6}$．
∴实数λ的取值范围是$（-∞，\frac{5}{6}）$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”、数列的单调性与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．