Question

4．△ABC的三个内角A，B，C，若$\frac{\sqrt{3}cosA+sinA}{\sqrt{3}sinA-cosA}$=tan（-$\frac{7}{12}$π），则tanA=1．

Answer 1

分析 由同角三角函数基本关系的运用可得$\frac{\sqrt{3}+tanA}{1-\sqrt{3}tanA}$=tan$\frac{7π}{12}$，利用两角和的正切函数公式可得tan（A+$\frac{π}{3}$）=tan$\frac{7π}{12}$，结合角A的范围可求A，即可得解tanA的值．

解答 解：$\frac{\sqrt{3}cosA+sinA}{\sqrt{3}sinA-cosA}$
=$\frac{2（\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA）}{2（\frac{\sqrt{3}}{2}sinA-\frac{1}{2}cosA）}$
=$\frac{sin\frac{π}{3}cosA+cos\frac{π}{3}sinA}{sin\frac{π}{3}sinA-cos\frac{π}{3}cosA}$
=$\frac{sin（\frac{π}{3}+A）}{-cos（\frac{π}{3}+A）}$
=-tan（$\frac{π}{3}$+A）
∵$\frac{\sqrt{3}cosA+sinA}{\sqrt{3}sinA-cosA}$=tan（-$\frac{7}{12}$π），
即：-tan（$\frac{π}{3}$+A）=tan（-$\frac{7}{12}$π），
-tan（$\frac{π}{3}$+A）=-tan$\frac{7}{12}$π，
tan（$\frac{π}{3}$+A）=tan$\frac{7}{12}$π，
∵$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$+A＜$\frac{4π}{3}$
∴$\frac{π}{3}$+A=$\frac{7}{12}$π
∴A=$\frac{π}{4}$
∴tanA=1
故答案为1．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和的正切函数公式，正切函数的图象和性质，属于基础题．