Question

9．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足8S_n=a${\;}_{n}^{2}$+4a_n+3（∈N^*），且a₁＜3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{{a}_{n}+3-3n}{{2}^{n-1}}$，设{b_n}的前n项和为T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得T_n，对n分类讨论即可得出．

解答 解：（1）∵$8{S_n}={a_n}^2+4{a_n}+3$，
∴8S_n-1=${a}_{n-1}^{2}$+4a_n-1+3 （n≥2），
∴$8（{S_n}-{S_{n-1}}）={a_n}^2+4{a_n}-{a^2}_{n-1}-4{a_{n-1}}$，
∴${a_n}^2-{a^2}_{n-1}=4（{a_n}+{a_{n-1}}）$，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=4（n≥2）．
∴数列{a_n}是以4为公差的等差数列，
又∵$8{S_1}={a_1}^2+4{a_1}+3$，
∴${a_1}^2-4{a_1}+3=0$而a₁＜3，
∴a₁=1，
∴a_n=4n-3 （n∈N^*）．
（2）${b_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，
${T_n}=1×\frac{1}{2^0}+2×\frac{1}{2^1}+3×\frac{1}{2^2}+…+（n-1）×\frac{1}{{{2^{n-2}}}}+n×\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，
$\frac{{T}_{n}}{2}$=$\frac{1}{2}+2×\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$（n-1）×\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
两式相减得$\frac{T_n}{2}=\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-n×\frac{1}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$，
∴${T_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$，
∴${（-1）^n}λ＜4-\frac{2}{{{2^{n-1}}}}$．
若n为偶数，则$λ＜4-\frac{2}{{{2^{n-1}}}}，{\;}∴λ＜3$．
若n为奇数，则$-λ＜4-\frac{2}{{{2^{n-1}}}}$，∴-λ＜2，∴λ＞-2．
∴-2＜λ＜3．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．