Question

19．已知关于x的不等式|2x-1|-|x-1|≤a．
（Ⅰ）当a=3时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=3时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）若不等式有解，则a大于或等于f（x）=|2x-1|-|x-1|的最小值，利用单调性求的f（x）的最小值，从而求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=3时，关于x的不等式即|2x-1|-|x-1|≤3，
故有 $\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{2}}\\{1-2x-（1-x）≤3}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}≤x≤1}\\{2x-1-（1-x）≤3}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{2x-1-（x-1）≤3}\end{array}\right.$③．
解①求得-3≤x＜$\frac{1}{2}$，解②求得 $\frac{1}{2}$≤x≤1，解③求得1＜x≤3．
综上可得，不等式的解集为[-3，3]．
（Ⅱ）若不等式有解，则a大于或等于f（x）=|2x-1|-|x-1|的最小值．
由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x＜\frac{1}{2}}\\{3x-2，\frac{1}{2}≤x≤1}\\{x，x＞1}\end{array}\right.$，可得函数f（x）的最小值为f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
故a≥-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，利用单调性求函数的最值，属于中档题．