Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{3}{2}$a_n-1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2log₃$\frac{{a}_{n}}{2}$+1，求$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{b{{\;}_{n-1}b}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{3}{2}$a_n-1（n∈N^*），可得当n=1时，${a}_{1}=\frac{3}{2}{a}_{1}$-1，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=2log₃$\frac{{a}_{n}}{2}$+1=2n-1，可得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{3}{2}$a_n-1（n∈N^*），
∴当n=1时，${a}_{1}=\frac{3}{2}{a}_{1}$-1，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}{a}_{n}$-1-$（\frac{3}{2}{a}_{n-1}-1）$，化为a_n=3a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为3．
∴a_n=2×3^n-1．
（2）b_n=2log₃$\frac{{a}_{n}}{2}$+1=2n-1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{b{{\;}_{n-1}b}_{n}}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n-1}）$
=$\frac{n-1}{2n-1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．