Question

2．如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，侧面AA′C′C为正方形，AA′=5，BC=4，A′B′=3，E、F分别是A′C′、BC的中点．
（1）证明：C′F∥面ABE；
（2）证明：面ABE⊥面BB′C′C．

Answer 1

分析 （1）作AB中点D，连结DE、DF，推导出四边形EDFC′是平行四边形，由此能证明FC′∥面ABE．
（2）推导出BB′⊥AB，AB⊥BC，由此能证明面ABE⊥面BB′C′C．

解答 证明：（1）作AB中点D，连结DE、DF
∵D、F分别为AB、BC的中点，∴DF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，
∵E为A′B′中点，∴EC′$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，∴EC′$\underset{∥}{=}$DF，
∴四边形EDFC′是平行四边形，
∴DE∥FC′，又∵DE?平面ABE，FC′?面ABE，
∴FC′∥面ABE．
（2）∵直三棱柱ABC-A′B′C′中，BB′⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴BB′⊥AB，
∵侧面AA′C′C为正方形，且AA′=5，∴AC=5，
又∵AB=A′B′=3，BC=4，∴AC²=AB²+BC²，
即AB⊥BC，又∵BB′⊥AB，BB′∩BC=B，BB′、BC?面BB′C′C，
∴AB⊥面BB′C′C，又∵AB?面ABE，
∴面ABE⊥面BB′C′C．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．