Question

10．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且2acosB=2c-b．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用余弦定理即可得出；
（II）利用余弦定理可得bc，与b+c=4联立解出b，c，即可得出．

解答 解：（I）2acosB=2c-b，∴$2a×\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=2c-b，化为：b²+c²-a²=bc．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
又A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（II）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴2²=（b+c）²-2bc-2bccosA=4²-2bc（1+$\frac{1}{2}$），化为bc=4．
联立$\left\{\begin{array}{l}{b+c=4}\\{bc=4}\end{array}\right.$，解得b=c=2．
∴△ABC是等边三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．