Question

6．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=6，BE=3．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD
（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，推导出四边形BEGA是平行四边形，从而四边形CDGE是平行四边形，进而CE∥DG，由此能证明CE∥平面PAD．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PD与平面PCE所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，
∵PA∥BE，且PA=6，BE=3，∴BE∥AG，且BE=AG，
∴四边形BEGA是平行四边形，
∴EG∥AB，且EG=AB，
∵正方形ABCD，∴CD∥AB，CD=AB，
∴EG∥CD，且EG=CD，
∴四边形CDGE是平行四边形，∴CE∥DG，
∵DG?平面PAD，CE?平面PAD，∴CE∥平面PAD．
解：（Ⅱ）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（6，6，0），E（6，0，3），P（0，0，6），D（0，6，0），
∴$\overrightarrow{PD}$=（0，6，-6），$\overrightarrow{PC}$=（6，6，-6），$\overrightarrow{PE}$=（6，0，-3），
设平面PCE的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=2x-z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
设PD与平面PCE所成有为α，
则sinα=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{PD}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{|-6|}{\sqrt{6}×6\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴PD与平面PCE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．