Question

1．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=2^x+$\frac{m}{{2}^{x}}$，设g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞1}\\{f（-x），x≤1}\end{array}\right.$．若函数y=g（x）-t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质，利用f（0）=0求出m的值，利用g（x）与f（x）的关系求出g（x）的表达式，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=2^x+$\frac{m}{{2}^{x}}$，
∴f（0）=0，即f（0）=1+m=0，得m=-1，
则f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，
则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}，}&{x＞1}\\{\frac{1}{{2}^{x}}-{2}^{x}，}&{x≤1}\end{array}\right.$，
则当x＞1时，函数为增函数，且当x→1时，g（x）→${2}^{1}-\frac{1}{{2}^{1}}$=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
当x≤1时，函数为减函数，且g（x）≥g（1）=-（${2}^{1}-\frac{1}{{2}^{1}}$）=$\frac{1}{2}$-2=-$\frac{3}{2}$，
由y=g（x）-t=0得g（x）=t，
作出函数g（x）和y=t的图象如图：
要使函数y=g（x）-t有且只有一个零点，
则函数g（x）与y=t只有一个交点，
则-$\frac{3}{2}$≤t≤$\frac{3}{2}$，
故答案为：[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．