Question

19．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=cos2x+8sinAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$列出方程解出A；
（2）使用二倍角公式化简f（x）=-2（sinx-1）²+3，根据二次函数的性质得出f（x）的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sinA+cosA=2sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，
∴$sin（A+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵A为锐角，∴$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$，$A=\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$sinA=\frac{1}{2}$，
∴f（x）=cos2x+4sinx=1-2sin²x+4sinx=-2（sinx-1）²+3，
∵x∈R，∴sinx∈[-1，1]，
∴当sinx=1时，f（x）有最大值3；
当sinx=-1时，f（x）有最小值-5，
∴函数f（x）的值域是[-5，3]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数化简求值，一元二次函数的最值，属于中档题．