函数的定义域为
,若存在闭区间
,使得函数
满足以下两个条件:(1)
在[m,n]上是单调函数;(2)
在[m,n]上的值域为[2m,2n],则称区间[m,n]为
的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有 (填上所有正确的序号)
①=x2(x≥0); ②
=ex(x∈R);
③=
;④
=
.
①③④
解析试题分析:函数中存在“倍值区间”,则:(1)在
内是单调函数;(2)
,或
,①
,若存在“倍值区间”
,则
,∴
,∴
,∴
,故存在“倍值区间”
;②
,若存在“倍值区间”
,则
,∴
,构建函数
,∴
,∴函数在
上单调减,在
上单调增,∴函数在
处取得极小值,且为最小值, ∵
,∴
无解,故函数不存在“倍值区间”;
③,
,若存在“倍值区间”
,
则,∴
,∴
,故存在“倍值区间”
;④
且
,不妨设
,则函数在定义域内为单调增函数,若存在“倍值区间”
,则
,∴
,则方程
,即
,由于该方程有两个不等的正根,故存在“倍值区间”
;综上知,所给函数中存在“倍值区间”的有①③④,故答案为:①③④.
考点:函数的值域;命题的真假判断与应用.
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