Question

已知函数f(x)=

a

x

+lnx-n(a＞0)，其中n=

∫

π 2 0

(2sin

t

2

cos

t

2

)dt．若函数f（x）在定义域内有零点，则a的取值范围是

（0，1]

．

Answer 1

分析：先利用微积分基本定理求出n，得到函数的解析式，再求导函数，从而可确定函数的最小值，要使函数f（x）在定义域内有零点，则需最小值小于等于0即可．

解答：解：n=

∫

π 2 0

(2sin

t

2

cos

t

2

)dt．
∴n=∫₀ 

π

2

sintdt=-cost|₀ 

π

2

=1，
从而f(x)=

a

x

+lnx-1(a＞0)，
函数的定义域为（0，+∞）
∴f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

令f′（x）=0，∴x=a
当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，
∴x=a时，函数f（x）取得最小值lna
∵函数f（x）在定义域内有零点
∴lna≤0
∴0＜a≤1
∴函数f（x）在定义域内有零点时，a的取值范围是（0，1]
故答案为：（0，1]．

点评：本题以函数为载体，考查微积分基本定理，导数的运用，考查函数的零点，解题的关键是将函数f（x）在定义域内有零点，转化为最小值小于等于0．本题属于基础题．