Question

5．已知函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（x+8）=f（x），且当x∈（0，4]时f（x）=$\frac{ln（2x）}{x}$，关于x的不等式f²（x）+af（x）＞0在[-2016，2016]上有且只有2016个整数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{1}{3}$ln6，ln2]
• B． （-ln2，-$\frac{1}{3}$ln6）
• C． （-ln2，-$\frac{1}{3}$ln6]
• D． （-$\frac{1}{3}$ln6，ln2）

Answer 1

分析 先判断f（x）的奇偶性、周期性，利用函数的性质将问题转化为（0，4]整数解问题，求出导数后判断函数的单调性和取值情况，画出函数的图象后对a进行分类讨论，利用一元二次不等式的解法结合图象求解．

解答 解：∵函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（x+8）=f（x），
∴函数f（x）是偶函数，且周期是8，则在[-2016，2016]上共有504个周期，
∵不等式在[-2016，2016]上有且只有2016个整数解，∴在一个周期上有且只有4个整数解，
由偶函数的性质可得，在（0，4]上有且只有2个整数解，
∵当x∈（0，4]时f（x）=$\frac{ln（2x）}{x}$，∴则f′（x）=$\frac{1-ln（2x）}{{x}^{2}}$，
当f′（x）＞0得1-ln（2x）＞0，即ln（2x）＜1，
即0＜2x＜e，即0＜x＜$\frac{e}{2}$，
由f′（x）＜0得1-ln（2x）＜0，得ln（2x）＞1，
即2x＞e，即x＞$\frac{e}{2}$，
即当x=$\frac{e}{2}$时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值
f（$\frac{e}{2}$）=$\frac{lne}{\frac{e}{2}}$=$\frac{2}{e}$，
即当0＜x＜$\frac{e}{2}$时，f（x）＜$\frac{2}{e}$有一个整数解1，
当x＞$\frac{e}{2}$时，0＜f（x）＜$\frac{2}{e}$有无数个整数解，
①若a=0，则f²（x）+af（x）＞0得f²（x）＞0，此时有无数个整数解，不满足条件．
②若a＞0，
则由f²（x）+af（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜-a，
当f（x）＞0时，不等式由无数个整数解，不满足条件．
③当a＜0时，由f²（x）+af（x）＞0得f（x）＞-a或f（x）＜0，
当f（x）＜0时，没有整数解，
则要使当f（x）＞-a有两个整数解，
∵f（1）=ln2，f（2）=$\frac{ln4}{2}$=ln2，f（3）=$\frac{ln6}{3}$，
∴当f（x）≥ln2时，函数有两个整数点1，2，当f（x）≥$\frac{ln6}{3}$时，函数有3个整数点1，2，3
∴要使f（x）＞-a有两个整数解，
则$\frac{ln6}{3}$≤-a＜ln2，即-ln2＜a≤-$\frac{1}{3}$ln6，
故选：C．

点评 本题考查函数的奇偶性、周期性的综合应用，不等式的求解，以及根据条件判断函数的取值范围，利用数形结合结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．