Question

13．已知函数f（x）=log₂（x+1）．
（1）将函数f（x）的图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数g（x）的图象，写出函数g（x）的表达式；
（2）若关于x的函数y=g²（x）-mg（x²）+3在[1，4]上的最小值为2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象平移关系进行求解即可．
（2）利用换元法，转化为一元二次函数，利用一元二次函数单调性和最值之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）将函数f（x）的图象上的所有点向右平行移动1个单位，
得到y=log₂（x-1+1）=log₂x．
即g（x）=log₂x（x＞0）；…（2分）
（2）$y={g^2}（x）-mg（{x^2}）+3={（{{{log}_2}x}）^2}-2m{log_2}x+3$，
令t=log₂x（t∈[0，2]）得y=t²-2mt+3=（t-m）²+3-m²…（4分）
①若m＜0，则y=t²-2mt+3在t∈[0，2]上递增，
∴当t=0时，y_min=3≠2，无解；…（6分）
②若0≤m≤2，则当t=m时，${y_{min}}=3-{m^2}=2$，解得m=1，-1（舍去），
∴m=1…（8分）
③若m＞2，则y=t²-2mt+3在t∈[0，2]上递减，
∴当t=2时，y_min=7-4m=2，解得$m=\frac{5}{4}＜2$，不符合条件，舍去；
综上可得m=1…（10分）

点评 本题主要考查函数图象的变化，以及函数最值的求解，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．