Question

18．已知α，β为锐角，$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β）．
（1）求tan（α+β）cotα的值；
（2）求tanβ的最大值．

Answer 1

分析 （1）由β=（α+β）-α，利用三角函数恒等变换的应用即可化简得解．
（2）由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得2tanβtan²α-tanα+tanβ=0，再根据△=1-4（2tanβ）•tanβ≥0，求得tanβ的最大值．

解答 解：（1）∵sinβ=cos（α+β）sinα，
∴sin[（α+β）-α]=cos（α+β）sinα，
∴sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=cos（α+β）sinα
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）cotα=2
（2）∵sinβ=cos（α+β）sinα=sinαcosαcosβ-sinβsin²α
∴sinβ（1+sin²α）=sinαcosαcosβ，
∴$tanβ=\frac{sinαcosα}{{1+{{sin}^2}α}}=\frac{sinαcosα}{{2{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}$
即$tanβ=\frac{tanα}{{2{{tan}^2}α+1}}$，
∵2tanβtan²α-tanα+tanβ=0，
∴（-1）²≥4（2tanβ）•tanβ，
∴$tanβ≤\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，当且仅当$tanα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时等号成立．
故tanβ的最大值为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查了两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．