Question

7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（0＜ω＜4，|φ|＜$\frac{π}{2}$），若f（$\frac{π}{6}$）-f（$\frac{2π}{3}$）=2，则函数f（x）的单调递增区间为（　　）

• A． [$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z
• B． [$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$]，k∈Z
• C． [kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z
• D． [kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z

Answer 1

分析 根据正弦函数的值域可得ω•$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，ω•$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，两式相减可得ω 和 φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的最值以及单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（0＜ω＜4，|φ|＜$\frac{π}{2}$），若f（$\frac{π}{6}$）-f（$\frac{2π}{3}$）=2，
则 f（$\frac{π}{6}$）=1，f（$\frac{2π}{3}$）=-1，即 sin（ω•$\frac{π}{6}$+φ）=1，sin（ω•$\frac{2π}{3}$+φ）=-1，
∴ω•$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，ω•$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，两式相减可得ω=2，
∴φ=$\frac{π}{6}$，函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数的值域，正弦函数的最值以及单调性，属于中档题．