Question

15．已知f（x）=x²+3x-5，x∈[t，t+1]．
（1）求f（x）的最小值h（t）；
（2）求f（x）的最大值g（t）

Answer 1

分析 利用对称轴与区间的位置关系，分类讨论，即可得出结论．

解答 解：（1）f（x）=（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{29}{4}$，对称轴为x=-$\frac{3}{2}$．
①t+1≤-$\frac{3}{2}$，即t≤-$\frac{5}{2}$时，h（t）=f（t+1）=t²+5t-1
②t＜-$\frac{3}{2}$＜t+1，即-$\frac{5}{2}$＜t＜-$\frac{3}{2}$时，得：h（t）=-$\frac{29}{4}$；
③t≥-$\frac{3}{2}$时，得：h（t）=f（t）=t²+3t-5
∴h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+5t-1，t≤-\frac{5}{2}}\\{-\frac{29}{4}，-\frac{5}{2}＜t＜-\frac{3}{2}}\\{{t}^{2}+3t-5，t≥-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
（2）t≤-2时，g（t）=f（t）=t²+3t-5；
t＞-2时，g（t）=f（t+1）=t²+5t-1
∴g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+3t-5，t≤-2}\\{{t}^{2}+5t-1，t＞-2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确运用对称轴与区间的位置关系分类讨论是关键．