Question

5．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c．且$\frac{ac}{{b}^{2}-{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{sinAcosA}{cos（A+C）}$．
（1）求角A；
（2）当sinB-cos（C+$\frac{π}{12}$）取最大值时，求$\frac{b}{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）余弦定理应用；（2）利用三角形内角和、正弦定理化简，求函数最值．

解答 解：（1）由余玄定理得：$cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，即$\frac{1}{-2cosB}=\frac{sinAcosA}{-cosB}$
化简得：sin2A=1
∵0＜A＜π
∴$2A=\frac{π}{2}∴A=\frac{π}{4}$
（2）由（1）知B+C=$\frac{3}{4}π$，得$C=\frac{3}{4}π-B$
$sinB-cos（C+\frac{π}{12}）=sinB-cos（\frac{5π}{6}-B）$=$\frac{1}{2}sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB=sin（B+\frac{π}{3}）$
∵$0＜B＜\frac{3π}{4}$
∴$当B+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}即B=\frac{π}{6}时，取得最大值$
由正弦定理得，$\frac{b}{a}=\frac{sinB}{sinA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了正余弦定理的应用及三角函数最值的求法．