Question

19．已知函数f（x）=|2x-5a|+|2x+1|，g（x）=|x-1|+3．
（1）解为等式|g（x）|＜8；
（2）若对任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由||x-1|+3|＜8，转化为-11＜|x-1|＜5，然后求解不等式即可．
（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．

解答 解：（1）由||x-1|+3|＜8，得-8＜|x-1|+3＜8
∴-11＜|x-1|＜5，∴-4＜x＜6
∴不等式的解集为{x|-4＜x＜6}…（5分）
（2）因为任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，
又f（x）=|2x-5a|+|2x+1|≥|（2x-5a）-（2x+1）|=|5a+1|，
g（x）=|x-1|+3≥3，所以|5a+1|≥3，解得a≥0.4或a≤-0.8，
所以实数a的取值范围为a≥0.4或a≤-0.8．…（10分）

点评 本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．