Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα）（0≤α＜2π），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线．
（1）证明向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直；
（2）当两个向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$的模相等时，求tanα．

Answer 1

分析 （1）计算两向量的模长可发现${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$=1，于是（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）=0；
（2）对|$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow{b}$|两边平方，可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，代入数量积运算公式即可得出tanα．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$²=cos²α+sin²α=1，${\overrightarrow{b}}^{2}$=（-$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=1．
∵（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=1-1=0．
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$．
（2）∵|$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow{b}$|，
∴3${\overrightarrow{a}}^{2}+2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+3{\overrightarrow{b}}^{2}$，
∴4+2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4-2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0．
∴-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=0，
∴tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算，数量积运算，属于基础题．