Question

设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f^′（x）表示f（x）导函数．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当k为偶数时，数列{a_n}满足a₁=1，anf′(an)

=a

2n+1

-3．证明：数列{

a

2n

}中不存在成等差数列的三项；
（Ⅲ）当k为奇数时，设bn=

1

2

f′(n)-n，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明不等式(1+bn)

1

bn+1

＞e对一切正整数n均成立，并比较S₂₀₁₂-1与ln2012的大小．

Answer 1

（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）=2x-2（-1）^k

1

x

=

2[x2-(-1)k]

x

，
1°当k 为奇数时，f′（x）=

2(x2+1)

x

，∵x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0恒成立；
2°当k 为偶数时，f′（x）=

2(x2-1)

x

，∵x+1＞0，∴f′（x）＞0得x＞1，即f（x）的单调增区间为（1，+∞），
综上所述，当k 为奇数时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当k 为偶数时，即f（x）的单调增区间为（1，+∞），
（Ⅱ）当k 为偶数时，由（1）知f′（x）=2x-

2

x

，∴f′（a_n）=2a_n-

2

an

，
由条件得：2（a_n²-1）=a _n+1 ²-3，故有：a_n+1 ²+1=2（a_n ²+1），
∴{a_n ²+1}是一个公比为2的等比数列，∴a_n²=2ⁿ-1，
假设数列{a_n²}中的存在三项a_r ²，s ²，a_t ²，能构成等差数列
不妨设r＜s＜t，则2a_s ²=a _r ²+a_t ²，
即2（2^s-1）=2^r-1+2^t-1，∴2 ^s-r+1=1+2 ^t-r，
又s-r+1＞0，t-r＞0，∴2 ^s-r+1为偶数，1+2 ^t-r为奇数，故假设不成立，
因此，数列{a_n²}中的任意三项不能构成等差数列；
（Ⅲ） 当k为奇数时，f′（x）=2（x+

1

x

），
∴b_n=

1

2

f′（n）-n=

1

n

，S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

要证（1+b_n） 

1

bn+1

＞e，即证（1+

1

n

）ⁿ⁺¹＞e，两边取对数，
即证ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

（10分）
设1+

1

n

=t，则n=

1

t-1

，
lnt＞1-

1

t

（t＞1），构造函数g（t）=lnt+

1

t

-1，
∵x＞1，∴g′（t）=

1

t

-

1

t2

＞0
∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，g（t）＞g（1）＞0
即lnt＞1-

1

t

，∴（1+b_n） 

1

bn+1

＞e，
S₂₀₁₂-1=（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

）-1=

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

，
∵ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

，∴

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

＜ln2+ln（1+

1

2

）+…+ln（1+

1

2012

）=ln2+ln

3

2

+…+ln

2012

2011

=ln（2×

3

2

×…×

2012

2011

）=ln2012，
∴

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

＜ln2012，