Question

（本小题满分13分）已知数列的前n项和为，（），．

（1）当t为何值时，数列是等比数列？

（2）设数列的前n项和为， ，点在直线上，在（1）的条件下，若不等式对于恒成立，求实数m的最大值．

 

Answer 1

（1）时，数列是等比数列；（2）.

【解析】

试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；由推时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘;（2）一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列

的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（3）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减.

试题解析：（1）由，得（），

两式相减得，即， 1分

所以（）， 2分

由及，得，

:]因为数列是等比数列，所以只需要，解得，此时，数列是以为首项，2为公比的等比数列． 4分

（2）由（1）得，因为点在直线上，所以，

故是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，

当时，，满足该式，所以． 6分

不等式，即为，

令，则，两式相减得

，所以． 10分

由恒成立，即恒成立，又，

故当时，单调递减；当时，单调递增，

当时，；当时，，则的最小值为，所以实数的最大值是． 13分

考点：1、证明数列是等比数列；2、错位相减求数列的和；3、恒成立的问题.