Question

将编号为1，2，3，4，5的五个同质量的小球，随机地放入编号为1，2，3，4，5的五个小盒中，每盒仅放一个小球，若第i（i=1，2，3，4，5）号小球恰好放入第i号小盒，则称其为一个匹对，用ξ表示匹对的个数．
（1）求第3号小球恰好放入第3号小盒的概率．
（2）求1号小球不落入1号小盒且5号小球也不落入5号小盒的概率．
（3）求匹对的个数ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

解：（1）第3号小球恰好放入第3号小盒记为时间A，则
P（A）=，
（2）1号小球不落入1号小盒且5号小球不落入5号小盒的事件记为B，
则P（B）=，
（3）由题意ξ可能取：0，1，2，3，5，则
，，，，
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	5
P

Eξ==1．
分析：（1）由题意设第3号小球恰好放入第3号小盒记为时间A，有古典概型随机事件的概率公式可得；
（2）由题意记1号小球不落入1号小盒且5号小球不落入5号小盒的事件记为B，利用古典概型随机事件的概率公式即可求得；
（3）由于ξ表示匹对的个数，由题意则ξ可能取：0，1，2，3，5，并利用古典概型随机事件的概率公式及排列数与组合数，求出其分布列及期望．
点评：此题考查了等可能事件的概率公式，离散型随机变量的定义及其分布列，并且利用分布列求出期望，还考查了考虑问题时的严谨的逻辑思维及计算能力．