Question

【题目】给出下列4个命题，其中正确命题的个数是（ ）
①计算：9192除以100的余数是1；
②命题“x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“x＞0，x﹣lnx≤0”；
③y=tanax（a＞0）在其定义域内是单调函数而且又是奇函数；
④命题p：“|a|+|b|≤1”是命题q：“对任意的x∈R，不等式asinx+bcosx≤1恒成立”的充分不必要条件．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①由于9192=（100﹣9）92=C92010092（﹣9）0+…+C92911001（﹣9）91+C92921000（﹣9）92 ，
在此展开式中，除了最后一项外，其余的项都能被100整除，故9192除以100的余数等价于C92921000（﹣9）92=992除以100的余数，而992=（10﹣1）92=C9201092（﹣1）0+…+C9291101（﹣1）91+C9292100（﹣9）92 ， 故992除以100的余数等价于C9291101（﹣1）91+C9292100（﹣9）92除以100的余数，而C9291101（﹣1）91+C9292100（﹣9）92=﹣919=﹣10×100+81，故9192除以100的余数是81．不正确．故①错误；
②命题“x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“x＞0，x﹣lnx≤0”，正确；
③y=tanax（a＞0）在其定义域内不是单调函数，是奇函数；故③错误，
④当a=b=0时，不等式asinx+bcosx≤1恒成立．
a与b不全为0时，不等式asinx+bcosx≤1化为：sin（x+θ）≤ ，
∵对任意的x∈R，不等式asinx+bcosx≤1恒成立”，
∴ ≥1，
∴a2+b2≤1，画出图象：可知：（a，b）表示的是以原点为圆心，1为半径的圆及其内部．
而|a|+|b|≤1可知：（a，b）表示的是正方形ABCD及其内部．
∴p是q的充分不必要条件．故④正确，
故选：B

【考点精析】掌握命题的真假判断与应用是解答本题的根本，需要知道两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．