Question

（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上，f（x）=

ax+1，-1≤x＜0       bx+2 x+1 ，0≤x≤1

其中a，b∈R．若f(

1

2

)=f(

3

2

)，则a+3b的值为

-10

．

Answer 1

分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f（

3

2

）=f（-

1

2

）=1-a=f（

1

2

）=

b+4

3

；再由f（-1）=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值，从而得到答案．

解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=

ax+1，-1≤x＜0       bx+2 x+1 ，0≤x≤1

，
∴f（

3

2

）=f（-

1

2

）=1-

1

2

a，f（

1

2

）=

b+4

3

；又f(

1

2

)=f(

3

2

)，
∴1-

1

2

a=

b+4

3

①
又f（-1）=f（1），
∴2a+b=0，②
由①②解得a=2，b=-4；
∴a+3b=-10．
故答案为：-10．

点评：本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到a，b的方程组并求得a，b的值是关键，属于中档题．