Question

如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥CD，∠DAB=60°
FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．
（1）求证：平面ABCD⊥平面AED；
（2）直线AF与面BDF所成角的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件推导出AD⊥BD，又AE⊥BD，从而BD⊥平面AED，由此能证明平面ABCD⊥平面AED．
（2）连结AC，由CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与面BDF所成角的余弦值．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，
∴∠ADC=∠BCD=120°，
又CB=CD，∴∠CDB=30°，∴∠ADB=90°，AD⊥BD，
又AE⊥BD，且AE∩AD=A，AE，AD?平面AED，
∴BD⊥平面AED，∴平面ABCD⊥平面AED．
（2）解：连结AC，由（1）知AD⊥BD，∴AC⊥BC，
又FC⊥平面ABCD，∴CA，CB，CF两两垂直，
以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，设CB=1，
则A（

3

，0，0），B（0，1，0），D（

3

2

，-

1

2

，0）
F（0，0，1），∴

BD

=(

3

2

，-

3

2

，0)，

BF

=(0，-1，1)，

AF=

(-

3

，0，1)，
设平面BDF的一个法向量为

m

=(x，y，z)，
则

m • BD = 3 2 x- 3 2 y=0 m • BF =-y+z=0

，取z=1，得

m

=(

3

，1，1)，
则cos＜

AF

，

m

＞=-

5

5

∴cosθ=

2 5

5

．
∴直线AF与面BDF所成角的余弦值为

2 5

5

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．