Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），D（1，0），过椭圆C的右焦点F（

2

，0）且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，

OA

•

OB

=

5

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点D的直线与椭圆C交于M，N两点，若

MD

=2

DN

，求直线MN的方程；
（3）设直线y=kx+2交椭圆C于P，Q两点，若以DP，DQ为邻边的平行四边形DPRQ满足|PQ|=|DR|，求k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由A（

2

，

b2

a

），B（

2

，-

b2

a

），利用

OA

•

OB

=2-

b2

a2

=

5

3

，椭圆C的右焦点F（

2

，0），能求出椭圆C的方程．
（2）若直线MN的斜率为0，则

MD

≠2

DN

，若直线MN的斜率不为0，设MN：x=ty+1，代入

x2

3

+y2=1，得：（t²+3）y²+2ty-2=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线MN的方程．
（3）将y=kx+2代入

y2

3

+y2=1，得（3k²+1）x²+12kx+9=0，由此利用韦达定理、直线垂直结合已知条件能求出k．

解答： 解：（1）由已知得A（

2

，

b2

a

），B（

2

，-

b2

a

），
∴

OA

•

OB

=2-

b2

a2

=

5

3

，解得

b2

a2

=

1

3

，
又椭圆C的右焦点F（

2

，0），
∴a²=b²+2，∴a²=3，b²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．
（2）若直线MN的斜率为0，则

MD

≠2

DN

，
若直线MN的斜率不为0，设MN：x=ty+1，
代入

x2

3

+y2=1，得：（t²+3）y²+2ty-2=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

MD

=2

DN

，得y₁=-2y₂，
由y₁+y₂=-y₂=-

2t

t2+3

，y1y2=-2y22=-

2

t2+3

，
得-2(

2t

t2+3

)2=

-2

t2+3

，∴t=±1，
直线MN的方程为x=±y+1，
∴y=x-1，或y=-x+1．
（3）将y=kx+2代入

y2

3

+y2=1，得（3k²+1）x²+12kx+9=0，（*）
设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），则x3+x4=-

12k

3k2+1

，①，x3x4=

9

3k2+1

，②
由已知得PD⊥QD，即

PD

•

QD

=(x3-1，y3)•（x₄-1，y₄）=0，
又y₃=kx₃+2，y₄=kx₄+2，
∴（k²+1）x₃x₄+（2k-1）（x₃+x₄）+5=0，③
将①②代入③，解得k=-

7

6

，此时（*）△＞0，
∴k=-

7

6

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线斜率的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．