Question

在四棱锥P-ABCD中，∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）求证：CE∥平面PAB．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由线面垂直得PA⊥CD，由直角性质得CD⊥AC，由此能证明平面PAC⊥平面PCD．
（2）法一：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．从而得到EM∥平面PAB．再由MC∥AB，得到MC∥平面PAB，由此证明平面EMC∥平面PAB，从而EC∥平面PAB．
（2）法二：延长DC，AB交于点N，连PN．由已知条件推地出EC∥PN．由此能证明EC∥平面PAB．

解答： 证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，…（2分）
又∠ACD=90°，则CD⊥AC，而PA∩AC=A，
所以CD⊥平面PAC，因为CD?平面ACD，…（4分）
所以，平面PAC⊥平面PCD．…（7分）
（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．
因为EM?平面PAB，PA?平面PAB，
所以EM∥平面PAB． …（9分）
在Rt△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，
又∠BAC=∠CAD，所以∠BAC=∠ACM，
则MC∥AB．
因为MC?平面PAB，AB?平面PAB，
所以MC∥平面PAB．…（12分）
而EM∩MC=M，所以平面EMC∥平面PAB．
由于EC?平面EMC，从而EC∥平面PAB．    …（14分）
（2）证法二：延长DC，AB交于点N，连PN．
因为∠NAC=∠DAC，AC⊥CD，
所以C为ND的中点．
而E为PD中点，所以EC∥PN．
因为EC?平面PAB，PN?平面PAB，
所以EC∥平面PAB．…（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．