Question

一个盒子里装有标号为1，2，…n且大小、形状、之地相同的标签若干占，从中任取1张标签所得标号记为随机变量X，其分布列如下：

X	1	2	…	n
P	p1	p2	…	pn

其中数列{p_n}是以

1

10

为首相，

1

20

为公差的等差数列．
（1）①求n的值；
②求随机变量X的数学期望EX；
（2）若有放回的从盒子里每次抽取一张标签，共抽取3次，求恰好有2次取得标签的标号不大于2的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）依题意得求出和的表达式进而解得n=5，所以可得X的分布列，求出随机变量X的期望，利用数列的有关知识求和即可得到答案．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中随机变量X的分布列可得随机抽取一次取得标签的标号不大于2的概率，进而根据独立重复试验的公式可得答案．

解答： 解：（1）①依题意得，数列{P_n}是以

1

10

为首项，以

1

20

为公差的等差数列．
所以S_n=P₁+P₂+…+P_n=n•

1

10

+

n(n-1)

2

•

1

20

=1．
即：n²+3n-40=0，解得；n=5或n=-8（舍去）．
故n=5．
②由①知随机变量X的分布列为

X	1	2	3	4	5
P	1 10	3 20	1 5	1 4	3 10

所以EX=1×

1

10

+2×

3

20

+3×

1

5

+4×

1

4

+5×

3

10

=

7

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中随机变量X的分布列可得：
随机抽取一次取得标签的标号不大于2的概率为

1

10

+

3

20

=

1

4

，
恰好有2次取得标签的标号不大于2的概率为

C

2 3

•(

1

4

)2•(1-

1

4

)=

9

64

．

点评：本题主要考查了随机变量的分布列和数学期望的以及独立重复试验的概率问题，属于基础题．