Question

如图，设F是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点，MN为椭圆的长轴，P为椭圆C上一点，且

|PF|

∈[2，6]．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点Q（-8，0），
①求证：对于任意的割线QAB，恒有∠AFM=∠BFN；
②求三角形△ABF面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

6+2=2a 6-2=2c a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）①设l_AB：x=my-8，A（x₁，y₁），A（x₂，y₂），由

x=my-8 x2 16 + y2 12 =1

，得（3m²+4）y²-48my+144=0．由此利用根的判别式、韦达定理结合已知条件推导出对于任意的割线QAB，恒有∠AFM=∠BFN．
②S_△ABF=S_△QBF-S_△QAF=

1

2

|QF|•|y2-y1|=

72 m2-4

3m2+4

，由此利用均值不等式能求出三角形△ABF面积的最大值是3

3

．

解答： （本题满分13分）
（Ⅰ）解：∵设F是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点，
MN为椭圆的长轴，P为椭圆C上一点，且

|PF|

∈[2，6]．
∴

6+2=2a 6-2=2c a2=b2+c2

，解得a=4，c=2，b²=16-4=12，
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（Ⅱ）①证明：由题意知直线AB斜率存在．
当AB的斜率为0时，∠AFM=∠BFM=0，满足题意，
当AB的斜率不为0时，设l_AB：x=my-8（m≠0），A（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
由

x=my-8 x2 16 + y2 12 =1

，得（3m²+4）y²-48my+144=0．
∴△=48²m²-4×12²（3m²+4）=24²（m²-4）＞0，解得m²＞4，
y1+y2=

48m

3m2+4

，y1y2=

144

3m2+3

．
则 kAF+kBF=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=

y1

my1-6

+

y2

my2-6

=

y1(my2-6)+y2(my1-6)

(my1-6)(my2-6)

=

2my1y2-6(y1+y2)

(my1-6)(my2-6)

，
又2my₁y₂-6（y₁+y₂）=2m•

144

3m2+4

-6•

48m

3m2+4

=0，∴k_AF+k_BF=0，
从而∠AFM=∠BFN．
综合可知：对于任意的割线QAB，恒有∠AFM=∠BFN．
②解：S_△ABF=S_△QBF-S_△QAF=

1

2

|QF|•|y2-y1|=

72 m2-4

3m2+4

=

72 m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2 3 •16

=3

3

，
当且仅当3

m2-4

=

16

m2-4

，即m=±

2 21

3

（此时适合于△＞0的条件）时取等号．
∴三角形△ABF面积的最大值是3

3

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两角相等的证明，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式和均值定理的合理运用．