Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．
（Ⅰ）求证：AD⊥BF：
（Ⅱ）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（Ⅲ）若二面角D-AP-C的余弦值为

6

3

，求PF的长度．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性质，可得AD⊥平面ABEF，即可证明AD⊥BF；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求得

BE

=（-

1

2

，0，1），

CP

=（-1，-1，

1

2

），利用向量的夹角公式，即可求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）设P点坐标为（0，2-2t，t），求得平面APF的法向量为

n

=（1，0，0），平面APC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答： （Ⅰ）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，
所以AD⊥平面ABEF，
因为BF?平面ABEF，
所以AD⊥BF；
（Ⅱ）解：因为∠BAF=90°，所以AF⊥AB，
因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，
因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系O-xyz．
所以B（1，0，0），E（

1

2

，0，1），P（0，1，

1

2

），C（1，2，0）．
所以

BE

=（-

1

2

，0，1），

CP

=（-1，-1，

1

2

），
所以cos＜

BE

，

CP

＞=

4 5

15

，
即异面直线BE与CP所成角的余弦值为

4 5

15

．                      
（Ⅲ）解：因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为

n

=（1，0，0）．
设P点坐标为（0，2-2t，t），在平面APC中，

AP

=（0，2-2t，t），

AC

=（1，2，0），
所以平面APC的法向量为

m

=（-2，1，

2t-2

t

），
所以cos＜

n

，

m

＞=

2

4+1+( 2t-2 t )2

=

6

3

，
解得t=

2

3

，或t=2（舍）．
此时|PF|=

5

3

．

点评：本题考查线面垂直，考查线线角、面面角，考查利用空间向量解决空间角问题，正确求向量是关键．