Question

如图，已知底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，△ABC是边长为2的正三角形，AP=BP=

2

2

PC=

2

，且N为线段AC的中点，M为侧棱PB的中点，
（1）求证：NM∥平面PAD；
（2）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（3）求直线DP和平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结BD，由四边形ABCD为菱形，得对角形AC与BD交于点N，MN∥PD，由此能证明MN∥平面PAD．
（2）取AB中点O，连结OP，OC，由勾股定理得PO⊥OC，从而PO⊥平面ABCD，由此能证明平面PAB⊥平面ABCD．
（3）以OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DP和平面PAC所成角的正弦值．

解答： （1）证明：连结BD，∵四边形ABCD为菱形，
∴对角形AC与BD交于点N，连结MN，
∵N为线段AC的中点，M为侧棱PB的中点，
∴MN∥PD，
∵MN不包含于平面PAD，PD?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）证明：取AB中点O，连结OP，OC，
∵PA=PB，PO⊥AB，△POC中，OC=

3

，OP=1，PC=2，
∴OC²+OP²=PC²，∴PO⊥OC，又OC∩AB=O，
∴PO⊥平面ABCD，又PO?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．
（3）解：如图，以OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（0，-1，0），C（

3

，0，0），P（0，0，1），）D（

3

，-2，0），
设平面PAC的法向量

n

=(x，y，z)，

PA

=(0，-1，-1)，

PC

=(

3

，0，-1)，

n • PN =-y-z=0 n • PC = 3 x-z=0

，取x=1，得

n

=(1，-

3

，

3

)，
又

DP

=(-

3

，2，1)，
设直线DP和平面PAC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

DP

，

n

＞|
=

|- 3 -2 3 + 3 |

7 •2 2

=

42

14

．
∴直线DP和平面PAC所成角的正弦值为

42

14

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．