Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=3，S_n和S_n+1满足等式S_n+1=

n+1

n

S_n+n+1．
（Ⅰ）求证：数列{

Sn

n

}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_n•2 an，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由S_n+1=

n+1

n

S_n+n+1，两边同除以n+1，可得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1，即可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）S_n．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出数列{a_n}的通项，再利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： （Ⅰ）证明：∵S_n+1=

n+1

n

S_n+n+1，
∴

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1，
∴数列{

Sn

n

}是以3为首项，1为公差的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得

Sn

n

=3+n-1=n+2，
化为S_n=n²+2n．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．
又a₁=3也满足．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1．
∴b_n=a_n•2 an=（2n+1）•2²ⁿ⁺¹．
∴T_n=3•2³+5•2⁵+…+（2n+1）•2²ⁿ⁺¹，
∴4T_n=3•2⁵+5•2⁷+…+（2n+1）•2²ⁿ⁺³，
两式相减，整理可得T_n=(

2

3

n-

1

3

)•22n+3+

40

3

．

点评：数熟练掌握等差数列的定义、通项公式、错位相减法及其利用“当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，”求a_n的方法等是解题的关键．