Question

如图，已知直角梯形ABCD与等腰直角△ABE所在平面垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，EA⊥EB．
（1）求证：AB⊥DE；
（2）求二面角B-AE-D的正弦值；
（3）若在线段EA上存在一点F，使EC∥平面FBD，求线段EF的长．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AB的中点O，连结OE，OD，由已知条件得EO⊥AB，OD⊥AB，由此能证明AB⊥DE．
（2）取AE的中点G，连结OG，DG，由已知条件得∠OGD为二面角B-AE-D的平面角，由此能求出二面角B-AE-D的正弦值．
（3）设ACBD交于点H，连结FH，由已知条件推导出F是线段EA的三等分点，由此能求出线段EF的长．

解答： （1）证明：如图，取AB的中点O，连结OE，OD，
∵EA=EB，平面ABE⊥平面ABCD，
∴EO⊥AB，OD⊥AB，
∴AB⊥平面DEO，∴AB⊥DE．
（2）解：取AE的中点G，连结OG，DG，
∵DO⊥平面ABE，EA⊥EB，∴OG⊥EA，OD⊥EA，DG⊥EA，
∴∠OGD为二面角B-AE-D的平面角，
OG=

2

2

，OD=1，DG=

6

2

，
cos∠OGD=

OG

DG

=

3

3

，sin∠OGD=

6

3

．
∴二面角B-AE-D的正弦值为

6

3

．
（3）解：设ACBD交于点H，连结FH，
∵AB=2，CD=1，∴H是AC，BD的三等分点，
∵EC∥平面FBD，∴EC∥FH，
∴F是线段EA的三等分点，线段EF的长为

2

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的平面角的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．