Question

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：
（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=f（x）成立；
（2）当x∈（1，2]时f（x）=2-x．给出结论如下：
①对任意m∈Z，有f（2^m）=0
②当x∈（2，4]时，有f（x）=4-2x；
③函数f（x）的值域为[0，1）；
④方程f（x）=log₃x的实根个数为3；
⑤函数f（x）-

1

2

在区间（1，+∞）上的零点由小到大组成一个数列{a_n}．则{a_n}的通项公式为a_n=3•2^n-2．
其中所有正确的结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；
根据条件求得f（x）=2-

x

2

，②错误；
作出f（x）的图象，由图象可知③④正确；
根据条件x=3×2^n-2，及通项公式为a_n=3•2^n-2，正确．

解答： 解：①当m∈Z时，在f（2x）=f（x）中令x=2^m，成立f（2^m+1）=f（2^m），∴f（2^m）=f（2）=0，正确；
②x∈（2，4]时，

x

2

∈（1，2]，f（

x

2

）=2-

x

2

，而f（x）=f（

x

2

），∴f（x）=2-

x

2

，错误；
作出f（x）的图象，由图象可知③④正确；

⑤当x∈（2^n-1，2ⁿ]，

x

2n-1

∈（1，2]，f（

x

2n-1

）=2-

x

2n-1

，而f（x）=f（

x

2n-1

），
∴f（x）=2-

x

2n-1

，由2-

x

2n-1

=

1

2

得x=3×2^n-2，
∴则{a_n}的通项公式为a_n=3•2^n-2．正确．
故答案为：①③④⑤．

点评：本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度大，属于难题．