Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=

1

3

，且S₁，2S₂，3S₃成等差数列．
（1）求a_n；
（2）设b_n=

n

an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得4S₂=S₁+3S₂，由此求出公比，从而能求出an=

1

3

•(

1

3

)n-1=

1

3n

．
（2）由b_n=

n

an

=n•3ⁿ，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=

1

3

，
且S₁，2S₂，3S₃成等差数列，
∴4S₂=S₁+3S₂，
若q=1，则an=a1=

1

3

，S1=

1

3

，S2=

2

3

，S3=1，
∴4S₂=

8

3

≠S1+3

S

3

=

10

3

，
∴q≠1，

4a1(1-q2)

1-q

=a1+

3a1(1-q3)

1-q

，
∴4（1+q）=1+3（1+q+q²），
整理，得3q²-q=0，解得q=

1

3

，q=0（舍），
∴an=

1

3

•(

1

3

)n-1=

1

3n

．
（2）∵b_n=

n

an

=n•3ⁿ，
∴Tn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n，①
3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=

3(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺¹，
∴Tn=(

n

2

-

1

4

)•3n+1+

3

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．