Question

12．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D为BC的中点．
（1）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）若点E是B₁C₁的中点，求证：BE∥平面ADC₁．

Answer 1

分析 （1）由AD⊥BC，AD⊥CC₁即可得出AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）由四边形BDC₁E位平行四边形可得出BE∥C₁D，故而BE∥平面ADC₁．

解答 证明：（1）∵CC₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AD⊥CC₁，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
又BC?平面BCC₁B₁，CC₁?平面BCC₁B₁，BC∩CC₁=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．
（2）∵D，E分别是BC，B₁C₁的中点，BC$\stackrel{∥}{=}$B₁C₁，
∴BD$\stackrel{∥}{=}$C₁E，
∴四边形BDC₁E是平行四边形，
∴BE∥C₁D，
又BE?平面AC₁D，C₁D?平面AC₁D，
∴BE∥平面AC₁D．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，属于基础题．