Question

2．椭圆C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的左焦点为F，右顶点为A₁，过点F斜率为k的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，交y轴于点E，O是坐标原点，记△GFD的面积为S₁，记△OED的面积为S₂
（I），求点D的坐标（用k表示）；
（II）求$\frac{{2{S_1}{S_2}}}{S_1^2+S_2^2}$的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 设直线AB的方程为y=k（x+1），并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，由韦达定理和中点坐标公式可得G的坐标，利用DG⊥AB，求点D的坐标（用k表示）；
（II）由三角形相似的性质，可得面积比为对应边的平方比，结合不等式的性质即可得到所求范围．

解答 解：（I）将y=k（x+1）代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中可得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0
则${x_1}+{x_2}=-\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，${y_1}+{y_2}=\frac{6k}{{4{k^2}+3}}$----（3分）
所以G（$-\frac{{4{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，$\frac{3k}{{4{k^2}+3}}$）----（5分）
因为DG⊥AB，则$\frac{\frac{3k}{4{k}^{2}+3}}{-\frac{4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-{x}_{D}}•k=-1$，所以x_D=$-\frac{k^2}{{4{k^2}+3}}$．
所以 D（$-\frac{k^2}{{4{k^2}+3}}$，0）----（7分）
（II）△GFD与△OED相似，则$\frac{S_1}{S_2}=\frac{{G{D^2}}}{{O{D^2}}}$=$9+\frac{9}{k^2}$＞9----（10分）
令$\frac{S_1}{S_2}=t$，则t＞9，从而$\frac{{2{S_1}{S_2}}}{S_1^2+S_2^2}$=$\frac{2}{{t+\frac{1}{t}}}$$＜\frac{2}{{9+\frac{1}{9}}}=\frac{9}{41}$----（13分）
所以$\frac{{2{S_1}{S_2}}}{S_1^2+S_2^2}∈$$（0，\frac{9}{41}）$----（15分）

点评 本题考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查三角形相似的性质：三角形的面积之比为相似比的平方，考查化简整理的运算能力，属于中档题．