Question

13．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x-1}，x≤0}\\{lo{g}_{\frac{1}{3}}x，x＞0}\end{array}\right.$，且f（a-3）=0，则a=4，不等式f（x）＞a的解集为{x|x＜-1或0＜x＜$\frac{1}{81}$}．

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式进行求解即可a的值，讨论x的取值范围结合指数不等式和对数不等式的解法进行求解即可．

解答 解：∵当a-3≤0时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^a-3-1=0，此时方程无解，
∴a-3≤0不成立，
当a-3＞0时，即a＞3，
则由f（a-3）=0得log${\;}_{\frac{1}{3}}$（a-3）=0，则a-3=1，得a=4，
最大不等式f（x）＞a等价为f（x）＞4，
若x≤0时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1＞4，得x-1＜-2．得x＜-1，
当x＞0时，f（x）＞4，得log${\;}_{\frac{1}{3}}$x＞4得0＜x＜$\frac{1}{81}$，
综上不等式的解集为{x|x＜-1或0＜x＜$\frac{1}{81}$}，
故答案为：4，{x|x＜-1或0＜x＜$\frac{1}{81}$}

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据分段函数的表达式进行讨论求解是解决本题的关键．