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    8．一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=$\frac{π}{3}$，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．

    分析 分类讨论，按照方案一，二的要求进行讨论．
    方案一：连OC，设$∠POC=x，x∈（0，\frac{π}{4}）$，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC，通过代入化简，由三角函数的最值确定的条件，可以得出答案；
    方案二：作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设$∠MOE=α，α∈（0，\frac{π}{6}）$，设矩形EFGH的面积为S，求出S的式子，由三角函数的性质求出最值．
    最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案．

    解答 解：按方案一：如图，连OC，设$∠POC=x，x∈（0，\frac{π}{4}）$，

    在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx
    在Rt△OAD中，$\frac{DA}{OA}=tan\frac{π}{3}$，得$OA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}DA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}Rsinx$，
    则$AB=OB-OA=R（cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinx）$，设矩形ABCD的面积为y，则
    y=AB•BC=${R}^{2}（sinxcosx-\frac{\sqrt{3}}{3}si{n}^{2}x）$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
    由$x∈（0，\frac{π}{3}）$得$\frac{π}{6}＜2x+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$．
    所以当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$时${y_{max}}=（\frac{{\sqrt{3}}}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{6}）{R^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}{R^2}$．
    按方案二：如图作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．

    设$∠MOE=α，α∈（0，\frac{π}{6}）$，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα
    在Rt△ONH中，$\frac{NH}{ON}=tan\frac{π}{6}$，得$ON=\sqrt{3}NH=\sqrt{3}Rsinα$，
    则$MN=OM-ON=R（cosα-\sqrt{3}sinα）$，设矩形EFGH的面积为S，
    则S=2ME•MN=2R2sinα（cosα-$\sqrt{3}$sinα）=R2（sin2α+$\sqrt{3}$cos2α-$\sqrt{3}$）=$2{R^2}sin（2α+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}{R^2}$
    由$α∈（0，\frac{π}{6}）$，则$\frac{π}{3}＜2α+\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，所以当$2α+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{12}$时${S_{max}}=（2-\sqrt{3}）{R^2}$∵$\frac{{\sqrt{3}}}{6}-2+\sqrt{3}=\frac{{7\sqrt{3}-12}}{6}＞0$，即ymax＞Smax
    答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好．

    点评 本题考查学生的计算能力，考查学生的转化能力，以及运用三角知识进行求解实际问题的能力，属于中档题．

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