Question

3．已$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow b$的夹角为120°，若$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，且$|\overrightarrow a|=2$，$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的正射影的数量为-1．

Answer 1

分析 根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow b$的夹角为120°，若$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，且$|\overrightarrow a|=2$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow b$）=0，即$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow b$²，则|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow b$|=2，
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow b$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow b$|cos120°=$-\frac{1}{2}×2×2$=-2，
则$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的正射影为$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-2}{2}=-1$，
故答案为：-1

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow b$以及利用向量射影的定义是解决本题的关键．