Question

17．在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，且3cosB=2sin（$\frac{π}{3}$+A）•sin（$\frac{π}{3}$-A）+2sin²A．
（1）求角B的值；
（2）若b=2$\sqrt{3}$，求三角形ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得$cosB=\frac{1}{2}$，结合B的范围即可得解B的值．
（2）由已知及正弦定理得$a=4sinA，c=4sin（\frac{2}{3}π-A）$，利用三角函数恒等变换的应用化简可得三角形ABC周长l=4$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+2$\sqrt{3}$，结合A的范围，利用正弦函数的性质即可得解其最大值．

解答 解：（1）因为$3cosB=2sin（\frac{π}{3}+A）•sin（\frac{π}{3}-A）+2{sin^2}A$
=$2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA）（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA-\frac{1}{2}sinA）+2{sin^2}A=\frac{3}{2}{cos^2}A+\frac{3}{2}{sin^2}A=\frac{3}{2}$，
所以$cosB=\frac{1}{2}$，
因为B是三角形的内角，
所以$B=\frac{π}{3}$．
（2）正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{sin\frac{π}{3}}}=4$，
所以$a=4sinA，c=4sin（\frac{2}{3}π-A）$，
因此三角形ABC周长$l=4sinA+4sin（\frac{2}{3}π-A）+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）+2\sqrt{3}$，
因为$0＜A＜\frac{2}{3}π$，
所以当$A=\frac{π}{3}$时，${l_{max}}=6\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，正弦函数、余弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．