Question

7．已知（x+$\frac{1}{2}$）ⁿ的展开式中前三项的系数成等差数列，设（x+$\frac{1}{2}$）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求：
（1）a₀-a₁+a₂-a₃+…+（-1）ⁿa_n的值；
（2）a_i（i=0，1，2，…，n）的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用二项式展开式的通项，结合等差数列的中项性质求出n，再在等式两边同时取x=-1，即可求出所求和；
（2）设第r+1项的系数最大，那么第r+1项的系数大于等于第r项的系数和第r+2项的系数，由此得出两个关于r的不等式，解出r，计算即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由题设，得${C}_{n}^{0}$+$\frac{1}{4}×{C}_{n}^{2}$=2×$\frac{1}{2}$×${C}_{n}^{1}$，即n²-9n+8=0，
解得n=8，n=1（舍）．
即有（x+$\frac{1}{2}$）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸，
在等式的两边取x=-1，得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₈=$\frac{1}{256}$；
（2）设第r+1项的系数最大，
由T_r+1=${C}_{8}^{r}$x^8-r•（$\frac{1}{2}$）^r，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{r}}{C}_{8}^{r}≥\frac{1}{{2}^{r+1}}{C}_{8}^{r+1}}\\{\frac{1}{{2}^{r}}{C}_{8}^{r}≥\frac{1}{{2}^{r-1}}{C}_{8}^{r-1}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8-r}≥\frac{1}{2（r+1）}}\\{\frac{1}{2r}≥\frac{1}{9-r}}\end{array}\right.$，
即为$\left\{\begin{array}{l}{8-r≤2（r+1）}\\{2r≤9-r}\end{array}\right.$即2≤r≤3，
由r为整数，解得r=2或r=3．
即有${C}_{8}^{r}$•（$\frac{1}{2}$）^r=${C}_{8}^{2}$•$\frac{1}{4}$=28•$\frac{1}{4}$=7或${C}_{8}^{3}$•$\frac{1}{8}$=7．
所以a_i系数最大值为7．

点评 本题考查了二项式定理的应用和二项式系数的性质，注意运用赋值法，以及不等式的解法，考查了运算能力，属于中档题．