Question

11．设x₁，x₂是方程x²-xsin$\frac{3π}{5}$+cos$\frac{3π}{5}$=0的两个根，则arctanx₁+arctanx₂的值为$\frac{π}{5}$．

Answer 1

分析 由条件利用韦达定理求得x₁+x₂ =sin$\frac{3π}{5}$，x₁•x₂=cos$\frac{3π}{5}$，再利用两角和的正切公式求得tan（arctanx₁+arctanx₂）的值，可得arctanx₁+arctanx₂ 的值．

解答 解：由x₁、x₂是方程x²-xsin$\frac{3π}{5}$+cos$\frac{3π}{5}$=0的两根，
可得x₁+x₂ =sin$\frac{3π}{5}$，x₁•x₂=cos$\frac{3π}{5}$，
故x₁、x₂均大于零，故arctanx₁+arctanx₂∈（0，π），
且tan（arctanx₁+arctanx₂）=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{sin\frac{3}{5}π}{1-cos\frac{3}{5}π}$=cot$\frac{3}{10}$π=tan（$\frac{π}{2}$-$\frac{3}{10}$π），
∴arctanx₁+arctanx₂=$\frac{π}{5}$．
故答案为：$\frac{π}{5}$．

点评 本题主要考查韦达定理、两角和的正切公式，根据三角函数的值求角，属于中档题．