Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）{a_n}的通项公式．

Answer 1

解：（Ⅰ）当n=1时，x²-a₁x-a₁=0有一根为S₁-1=a₁-1，
于是（a₁-1）²-a₁（a₁-1）-a₁=0，解得a₁=．
当n=2时，x²-a₂x-a₂=0有一根为S₂-1=a₂-，
于是（a₂-）²-a₂（a₂-）-a₂=0，解得a₂=．
（Ⅱ）由题设（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0，
即S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，代入上式得
S_n-1S_n-2S_n+1=0　　　①
由（Ⅰ）知S₁=a₁=，S₂=a₁+a₂=+=．
由①可得S₃=．
由此猜想S_n=，n=1，2，3，…．
下面用数学归纳法证明这个结论．
（i）n=1时已知结论成立．
（ii）假设n=k时结论成立，即S_k=，
当n=k+1时，由①得S_k+1=，即S_k+1=，
故n=k+1时结论也成立．
综上，由（i）、（ii）可知S_n=对所有正整数n都成立．
于是当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-=，
又n=1时，a₁==，所以{a_n}的通项公式a_n=，n=1，2，3，…．
分析：（Ⅰ）分别取n=1，n=2，根据方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1，即可求得a₁，a₂；
（Ⅱ）由题设（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0，即S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，代入上式得S_n-1S_n-2S_n+1=0，通过计算猜想S_n=，n=1，2，3，…．再用数学归纳法证明这个结论，进而利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-=，n=1时，a₁==，即可求得{a_n}的通项公式．
点评：本题重点考查数学归纳法，考查数列的通项，先猜后证是关键，注意数学归纳法的证题步骤，属于中档题．