Question

已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx（e 是自然对数的底数）。
（1）若曲线y= f（x）在x=1处的切线也是抛物线y²=4（x-1）的切线，求a的值；
（2）若对于任意x∈R，f（x）>0恒成立，试确定实数a的取值范围；
（3）当a=-1时，是否存在x₀∈（0，+∞），使曲线C：y= g（x）- f（x）在点x=x₀处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x₀的个数；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）f'（x）=e^x+a，f'（1）=e+a，
所以在x=1处的切线为y-（e+a）=（e+a）（x-1），
即y=（e+a）x，
与y²=4（x-1）联立，
消去y得（e+a）²x²-4x+4=0，
由Δ=0知，a=1-e或a=-1-e。
（2）f'（x）=e^x+a
①当a>0时，f'（x）>0，f（x）在R上单调递增，且当x→-∞时，e^x→0，ax→-∞
∴f（x）→-∞，故f（x）>0不恒成立，所以a>0不合题意；
②当a=0时，f（x）=e^x>0对x∈R恒成立，所以a=0符合题意；
③当a＜0时，令f'（x）=e²+a=0，得x=ln（-a），
当x∈（-∞，ln（-a））时，f'（x）＜0，
当x∈（ln（-a），+∞）时，f'（x）>0，
故f（x）在（-∞，ln（-a））上单调递减，
在（ln（-a），+∞）上单调递增
所以[f（x）]_min= f（ln（-a））=-a+aln（-a）>0，
∴a>-e
又a＜0，
∴a∈（-e，0）
综上，实数a的取值范围为（-e，0]。
（3）当a=-1时，由（2）知[f（x）] _min= f（ln（-a））=-a+aln（-a）=1
设h（x）=g（x）- f（x）=e^xlnx-e^x+x
则h'（x）=
假设存在实数x₀∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等，
x₀即为方程h'（x）=1的解
令h'（x）=1得：
在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴φ（x）≥φ（1）=0，故方程有唯一解为1
所以存在符合条件的x₀，且仅有一个。